HISTORIA DE LOS NÚMEROS ENTEROS

SEGUIMIENTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS 

 

El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó recursos para facilitar su relación con el medio que lo rodea. En las siguientes líneas daremos una breve y sustancial descripción acerca de los números enteros en la historia. La noción de cantidad, número y sistema numérico.

 

Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad.

 

Inicialmente no utilizábamos la notación indo – arábiga (la que actualmente utilizamos) sino representábamos, las cantidades, con marcas en los árboles, con un montón de piedras, nudos en sogas, etc. Los recursos que utilizábamos 

dependían dela cultura donde estábamos ubicados.

 

Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la Romana, babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas. Desde luego el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento 

o idea, implica mucho en su visión de vida. Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba:  “El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”

 

La facultad de contar está implícita en la aparición del número. Se mencionó que  el hombre hacía marcas, aunque a veces los seguimos haciendo, para representar  ciertas cantidades, pues esta actividad, que perdura desde tiempos inmemoriales, se formalizó en cada cultura con el número, los símbolos que representan a los números no han sido siempre los mismos, citamos a continuación la simbolización de la cultura China (en especial los números enteros negativos).

 

Desde épocas remotas 400 a. c., los chinos realizaban sus cálculos aritméticos utilizando pequeñas varillas, colocaban estos numerales concretos (números barras) sobre una superficie plana (tablero de cálculo) llegando así a la creación de numerales posicionales decimales que mostraron desde un principio su gran potencialidad. 

 

Por consiguiente, el concepto de número expresado en palabras se transcribió a una notación posicional sobre un tablero de cálculo. Este hecho jugó un papel muy importante en el paso de un nivel de pensamiento verbal a un nivel generalizado y abstracto, pavimentando así, el camino para el uso de símbolos.

 

Los nueve dígitos de la notación de número barra eran de dos tipos, dependiendo de la posición, como se muestra en el diagrama siguiente:

 

LOS NÚMEROS NEGATIVOS

 

 

Los números negativos antiguamente conocidos como “números deudos” o  “números absurdos”, datan de una época donde el interés central era la de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza.  Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V, en oriente, y no llega hasta occidente hasta el siglo XVI. En oriente se manipulaban números 

positivos y negativos, estrictamente se utilizaba los ábacos, usando tablillas o bolas de diferentes colores.

 

Sin embargo, los chinos no aceptaron la idea de que un número negativo pudiera ser solución de una ecuación. Corresponde a los Indios la diferenciación entre números positivos y negativos, que interpretaban como créditos y débitos, respectivamente, distinguiéndolos simbólicamente.

 

La notación muy difundida para los números positivos y negativos fue gracias a Stifel. La difusión de los símbolos germánicos (+) y (-), se popularizó con el matemático alemán Stifel (1487 – 1567) en el siglo XV, antes de ello se utilizaba la 

abreviatura de p para los positivos y m para los negativos.

 

Hasta fines del siglo XVIII los números negativos no eran aceptados universalmente. Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos “falsos”, pero en su Ars Magna (1545) los estudió exhaustivamente.  John Wallis (1616 - 1703), en su Aritmética Infinito (1655), “demuestra” la imposibilidad de su existencia diciendo que “esos entes tendrían que ser a la vez mayores que el infinito y menores que cero”.

 

Leonardo Euler es el primero en darles estatuto legal, en su Anteitung Zur Algebra (1770) trata de “demostrar” que (-1).(-1) = +1; argumentaba que el producto tiene que ser +1 ó -1 y que, sabiendo que se cumple (1).(-1)=-1, tendrá que ser: (-1).(-1) 

= +1.

 

Los números negativos, además complementan o extienden el conjunto de los números naturales, generado por un defecto de los números naturales: la generalidad para la operación de resta y división. Por ejemplo 5 – 9 resulta –4, que 

no es natural, no se cumple entonces la propiedad de clausura o cerradura en los naturales.

 

El hombre, visto en la imposibilidad de realizar, en general, la operación de resta crea otro conjunto, que viene hacer el conjunto de los números negativos. Los números naturales junto con los negativos formarán luego el conjunto de los 

números enteros; es decir los números naturales complementados con los naturales.

 

 Dónde:

 

•    Los enteros positivos, se denota con Z+ .

•    Los enteros negativos, se denota con Z

•    El cero no tiene signo, es neutro.

 

La distancia del cero a un número entero positivo +a, será la misma que la de un negativo –a; ambos entonces de igual magnitud. Así esto es denominado como valor absoluto. El cero es aquel número entero que no posee ningún signo respectivo, vale decir no es positivo ni negativo; más aún es el nexo entre estos dos. Entonces los números enteros se representan por Z y está formado por los números naturales y sus “opuestos” (los números negativos). Esto es:

 

Z = {...,-3,-2,-1, 0,1,2,3,...}

 

casanchi.com/mat/enteros01.pdf

 

 

LOS NÚMEROS ENTEROS 

 

 

 

En la vida se nos presentan muchas veces situaciones que no pueden expresarse mediante los números naturales. En este caso se necesitan otro tipo de números, que son los números enteros.

 

Los números enteros son:

 

→ Positivos: +1, +2, +3, +4, +5, ....

 

→ Negativos: -1, -2, -3, -4, -5, ....

 

→ El cero: 0. (El cero es el único número que no es ni positivo ni negativo).

 

Su utilidad: 

 

- Valores de temperaturas (-7º, siete grados por debajo de cero; +3º, tres grados por encima de cero).

 

- Plantas de edificios (-1, planta por debajo de la calle; +5, cinco plantas por encima).

 

- Los años en las líneas del tiempo (-1.500 = 1.500 años a.C.).

 

- Deudas.

 

- Profundidades bajo el nivel del mar

 

 

LOS NÚMEROS POSITIVOS 

 

 

 

Expresan situaciones relacionadas con ‘sumar’, ‘tener’, ‘estar por encima de’, etc. En cambio, los negativos se relacionan con situaciones de ‘restar’, ‘deber’, ‘estar por debajo de’, ‘gastar’, etc.

 

Los números enteros positivos (+2, +6…) se pueden escribir sin usar el signo (2, 6…)

 

 

A CONTINUACIÓN UN VIDEO PARA PROFUNDIZAR

 

 

www.youtube.com/watch?v=BroW3U-i-t8

 

 

NU

NÚMERO ENTERO 

 

Un número que no tiene parte fraccionaria. 

 

Incluye los números positivos {1, 2, 3, ...}, cero {0}, y los números negativos {-1, -2, -3, ...}. Se los puede escribir así: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

 

Ejemplos de enteros: -16, -3, 0, 1, 198

 

Los números enteros son del tipo:

 

Ƶ= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}  Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

 

 

VALOR ABSOLUTO 

 

 

 

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir 

 

su signo.

 

Criterios para conocer el orden de los números enteros.

 

1. Todo número negativo es menor que cero.

 

2. Todo número positivo es mayor que cero.

 

3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

 

4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

 

 

Valor absoluto

 

 

Se llama valor absoluto de un número a la distancia desde un número al punto de origen o cero.

 

 

Para representar el valor absoluto se utilizan dos barritas verticales. 

 

Ejemplo:

 

 

 

- El valor absoluto de -7 es  | 7 |

 

- El valor absoluto de 4 es | 4 |

 

 

 

Para ampliar los contenidos aprendidos puedes ingresar al siguiente link: 

 

www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1025.

 

 

SS

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

 

Reglas generales para suma de números enteros.

 

1. Los números enteros se suman de dos en dos.

 

2. Los números enteros se pueden asociar con paréntesis, de dos en dos, de la 

 

forma que se quiera.

 

3. Los números enteros se pueden conmutar, es decir a+b = b+a.

 

4. Se puede aplicar la ley distributiva del producto respecto a la suma, es decir:   a (b + c) = ab + ac,   para distribuir el signo fuera de los paréntesis, −(b + c) = −b – C

 

Son válidas las reglas de signos

 

(−)(−) = (+) menos por menos es más

 

(+)(+) = (+) mas’ por más es mas

 

(−)(+) = (−) menos por más es menos

 

(+)(−) = (−) más por menos es menos

 

1. Si los números enteros tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le coloca el signo común.

 

 3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = − 8

 

2. Si números enteros son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le coloca el signo del número de mayor valor absoluto.

 

PROPIEDADES DE LA SUMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS 

 

 

Clausurativa:   (-8) + (-19) = -27                   La suma obtenida al adicionar números

 

                           (+47) + (-18) = +29              enteros es un número entero.       

 

 

 

Conmutativa: (-67) + (+89) = +22                En toda adición el orden de los sumandos

 

                              (+89) + (-67) = +22           no altera la suma.                

 

 

 

Asociativa:       (-14) + (+24) + (-5) =             Al asociar dos o más sumandos de una

 

               (-14 + 24) -5 = -14 + (+24  -5)         adición, en distinto orden, la suma no se

 

                       (+10) -5 = -14 + (+19)              altera.

 

                                  +5 = +5

 

 Modulativa:   0 + (-41) = (-41)                     La adición de un número  entero con cero

 

                           (+27) + 0 = (+27)                 da como resultado el mismo número entero.

 

 

 

Propiedad del Opuesto aditivo:

 

                        (+6) + (-6) = 0                        Todo número entero adicionado con su 

 

                         (+104) + (-104) = 0              opuesto aditivo da como resultado cero.

 

 

 

FInalizando ingrese al siguiente link, para profundizarte video 

 

www.youtube.com/watch?v=ESKrFFmNBkU